数值分析

设𝑨,𝑩,𝑪均为𝑛×𝑛矩阵,且𝑩、𝑪非奇异,𝒃是𝑛维向量,要计算$𝒙 = B^{-1} (2A+I)(C^{-1}+A)b$,
请给出一个合理、高效率的算法流程.

$$y1 = C^{-1}b$$
$$y2 = y1 + Ab$$
$$y_3 = 2(Ay_2) + y_2$$
$$ x = B^{-1}y_3$$

如果A的每个对角元的绝对值都比所在行的非对角元的绝对值的和要大,即
$$|a_{ii}|>sum{j!=i}|a_{ij}|$$
对所有的i成立,那么称A是(行)严格对角占优阵.
如果A’是行严格对角占优阵,那么称A是列严格对角占优阵.
习惯上如果不指明哪种类型的话就认为是行对角占优.

矩阵特征值的几何意义

矩阵乘法对应了一个变换,是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中,原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换不对这些向量产生旋转的效果,那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量伸缩的比例就是特征值

实际上,上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义(图形变换)也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景:特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动,伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1,所有属于此特征值的特征向量身形暴长;特征值大于0小于1,特征向量身形猛缩;特征值小于0,特征向量缩过了界,反方向到0点那边去了。

特征值及特征向量定义

定义 设A是n阶方阵,如果数λ和n维非零列向量x使关系式

Ax=λx (1)

成立,那么这样的数λ称为矩阵A特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.(1)式也可写成,

( A-λE)X=0 (2)

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式

|A-λE|=0 , (3)

特征值 来自维基百科的解释

在数学上,特别是线性代数中,对于一个给定的线性变换$A$,它的特征向量(eigenvector,也译固有向量或本征向量)$v$ 经过这个线性变换之后,得到的新向量仍然与原来的$v$保持在同一条直线上,但其长度或方向也许会改变。即

$$ Av=\lambda v$$

$\lambda$ 为标量,即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例,称
$\lambda$ 为其特征值(本征值)。如果特征值为正,则表示$v$在经过线性变换的作用后方向也不变;如果特征值为负,说明方向会反转;如果特征值为0,则是表示缩回零点。但无论怎样,仍在同一条直线上。图1给出了一个以著名油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下(如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换),一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述,也就是说:所有的特征向量组成了这向量空间的一组基底。一个特征空间(eigenspace)是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合,可以证明该集合是一个线性子空间,比如
$$ E_{\lambda}={u \in V\mid Au=\lambda u}$$ 即为线性变换
A中以λ\lambda 为特征值的特征空间。

这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外,甚至在一些非线性的情况下,这些概念都是十分重要的。

$\mathbf{A}$的特征向量$\mathbf {x}$ ,按照定义,是在变换
$\mathbf{A}$的作用下会得到
$\mathbf {x}$ 自身的若干倍的非零向量。假设在
$\mathbf{A}$的作用下
$\mathbf {x}$ 变成了自身的
$\lambda$ 倍,也就是
$\mathbf{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$
在等式两边的左侧乘以单位矩阵I,得到
$$\mathbf{IA} \mathbf{x} =\mathbf{I} \cdot \lambda \mathbf{x} $$

$\mathbf{A}\mathbf{x} = (\lambda I)\mathbf{x}$
因此

$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) \mathbf{x}=0$
根据线性方程组理论,为了使这个方程有非零解,矩阵

$\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$的行列式必须是零:

$$\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) = 0$$
按照行列式的展开定义,上面式子的左端是一个关于
$\lambda$ 的多项式,称为特征多项式。这个多项式的系数只和
$\mathbf{A}$有关。在这个例子中,可以计算这个特征多项式:
$$\det!\left(\begin{bmatrix}1 & 0\ -\frac{1}{2} & 1\end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}1 & 0\ 0 & 1\end{bmatrix} \right)=(1-\lambda)^2$$
在这种情况下特征多项式的方程变成
$$(1-\lambda)^2 = 0$$它的唯一的解是:
$\lambda=1$。这就是矩阵
$\mathbf{A}$的特征值。
找到特征值
$\lambda=1$后,就可以找出
$$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) \mathbf{x}=0$$
的非零解,也就是特征向量了。在例子中:
$$\begin{bmatrix}1-\lambda & 0\ -\frac{1}{2} & 1-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\ x_2\end{bmatrix}=0$$
将$\lambda=1$代入,就有
$$\begin{bmatrix}0 & 0\ -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\ x_2\end{bmatrix}=0$$
解这个新矩阵方程,得到如下形式的解:
$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix}0\ c\end{bmatrix}$$
这里的c是任意非零常量。因此,矩阵$\mathbf{A}$的特征向量就是所有竖直方向的向量(比如图中红色箭头代表的向量)。

正定矩阵的判定

  • 判定定理1:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。
  • 判定定理2:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正。
  • 判定定理3:任意阵A为正定的充分必要条件是:A合同于单位阵。
打赏